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，这是一个对于最高次数为四次的方程存在根式解的原因的基础研究。该论文首先将方程的根视为抽象量而不是数字。他研究了根的置换，这项工作导致了群论。1771年，拉格朗日证明了威尔逊定理（首先由华林（Waring）提出但未给出证明），即n是素数当且仅当(n-1)!+1被n整除。1780年，拉格朗日因为研究行星对彗星轨道的扰动的工作获得了法国科学院的最高奖。1785年，拉格朗日开始了关于椭圆函数和椭圆积分的工作。1788年，拉格朗日出版了《分析力学》（Mécaniqueanalytique）。它总结了自牛顿时期以来在力学领域完成的所有工作，值得注意的是它使用微分方程理论。通过这项工作，拉格朗日将力学转化
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